Geek rubriek

Hoe komt het dat zoveel van mijn vrienden een verjaardag delen?

Hoe komt het dat zoveel van mijn vrienden een verjaardag delen?

Wetenschapsliefhebster en fulltime nieuwsgierigaard Stephanie Dehennin zoekt dingen uit die ons allemaal bezig houden, zodat jij dat niet hoeft te doen.

Niemand met een Facebookprofiel kan nog doen alsof men iemand’s verjaardag rats is vergeten, want je kan de app niet openen zonder het lichtjes dwingend verzoek iets te schrijven op hun digitale muur, en dat vaak in twee- of drievoud. Ook mensen met een oude school-verjaardagskalender op het toilet hebben het vast al opgemerkt: zelfs met een bescheiden vriendenaantal zijn er opmerkelijk veel mensen die een verjaardag delen. Is dat niet vreemd?

Het korte antwoord is: nee. Om het concreet te maken, de meeste mensen hebben een tweehonderdtal Facebookvrienden. De kans dat in een groep van tweehonderd mensen er twee mensen een verjaardag delen is de volle honderd procent. Maar zelfs als je er een pak minder contacten op nahoudt, blijft de kans op verjaardagsbuddies hoger dan de meesten denken.

Om even uit te testen of jij bij die mensen hoort, stel je jezelf even deze vraag: hoeveel Facebookvrienden heb je nodig om er quasi zeker van te zijn dat er twee een verjaardag delen? En hoeveel heb je er nodig voor een reële kans op een gedeelde verjaardag? Voor de gemakkelijkheid vergeten we schrikkeldagen even en gaan we uit van 365 mogelijke verjaardagen. Ik wacht wel even.

Hoeveel vrienden heb je nodig om er quasi zeker van te zijn (99,9%) dat er twee een verjaardag delen?

Hoeveel vrienden heb je nodig voor een reële kans  (50%) dat er twee een verjaardag delen?

(klik op de vraag om het antwoord te zien)

Dit lijkt veel te weinig, en toch is het mathematisch geheel juist. Als je er los naast zat, ligt het niet aan jou. Dit heet niet voor niets de Verjaardagsparadox. En toch is het enkel een paradox omdat mensen egocentrische wezens zijn met een aangeboren blinde vlek voor kansberekening. Gelukkig is daar een antidotum voor, en dat is wiskunde. Geen vrees, ik zal de wiskunde afwisselen met leuke weetjes over bizarre verjaardagsrituelen.

Zo blijkt dat vrijgezelle Duitse mannen hun dertigste verjaardag vieren door de trappen van het plaatselijk gemeentehuis te vegen terwijl hun vrienden afval naar hen gooien. Ze zouden dit doen om hun huiselijke kwaliteiten te bewijzen aan eventuele partners. We gaan die Duitsers even laten vegen, want wij hebben even iets belangrijker te bewijzen, namelijk dat er in een groep van 23 mensen er vijftig procent kans is dat er twee mensen een verjaardag delen.

“Mensen zijn egocentrische wezens met een aangeboren blinde vlek voor kansberekening.”

Zoals ik al poneerde, zijn we egocentrische wezens. Als we in een kamer zitten met 22 andere mensen, zien we voor onszelf 22 mogelijke verjaardagsmatches. Maar die 22 mensen kunnen ook onderling matchen. Dus naast jouw 22 combinaties, is er persoon 2 die ook 22 combinaties heeft. Jij en persoon 2 hadden al een combinatie, dus persoon 2 heeft 21 nieuwe combinaties. Persoon 3 heeft er dan 20, enz. Voor alle 23 mensen komen we zo op 253 unieke combinaties. Dat zijn al een behoorlijk aantal mogelijke matches.

Als je in Vietnam zou wonen, liggen de zaken anders. Vietnamezen vieren namelijk allemaal samen hun verjaardag op Nieuwjaarsdag. Lekker handig! Noord-Koreanen hebben dan weer elks hun eigen verjaardag, behalve als ze zouden geboren zijn op 8 juli of 17 december. Dat zijn namelijk de verjaardagen van respectievelijk Kim Il-sung and Kim Jong-il en die dulden geen verjaardagsbuddies. Iets in me zegt dat ze ook niet bepaald fan zijn van wiskundige vraagstukken.

Vietnamezen vieren allemaal samen hun verjaardag op Nieuwjaarsdag.

Over vraagstukken gesproken, we weten nu dat er voor 23 mensen 253 unieke combinaties zijn. Maar hoe berekenen we nu de kans dat daar een verjaardagsmatch tussen zit? Hier gaat ons brein vaak de mist in. We gaan vaak kansen optellen als we moeten vermenigvuldigen en omgekeerd.

Nochtans is de basis niet zo ingewikkeld: als we willen weten of gebeurtenis A of gebeurtenis B kan gebeuren, moeten we de kansen optellen. Als je bijvoorbeeld zou willen weten wat de kans is om een 1 OF een 6 te dobbelen, moet je de kans op een 1 optellen bij de kans op een 6. Dat wordt dan 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Als je daarentegen wil weten wat de kans is op een 1 EN daarna een 6 te dobbelen, moet je ze vermenigvuldigen. Dat wordt dus 1/6 x 1/6 = 1/36.

Onthou dus: de kans op A OF B = kansen optellen. De kans op A EN B = kansen vermenigvuldigen.

Ik hoop dat jullie niet bang zijn voor een beetje rekenwerk, want we zijn er nog niet. En als je zou kampen met een clownfobie, kan je maar beter niet naar Zwitserland verhuizen. Daar is het blijkbaar de gewoonte om een enge clown in te huren die de jarige achtervolgt en bedreigt om hem of haar vervolgens een taart in het gezicht te pleuren. What is wrong with Swiss people?

In Lucerne, Zwitserland, kan je een enge clown inhuren die de jarige bedreigt om hem of haar een taart in het gezicht te pleuren.

Maar opnieuw naar ons verjaardagsprobleem. We weten nu wanneer we kansen moeten optellen dan wel vermenigvuldigen, en daarmee zijn we vertrokken. We beginnen met twee mensen in de groep. Persoon A mag gelijk wanneer geboren zijn, de kans dat ie verjaart is uiteraard 1. Of 365/365. De kans dat persoon B dezelfde verjaardag heeft als persoon A is dus 1/364. We willen dat beide gebeurtenissen plaatsvinden, dus gaan we vermenigvuldigen: 365/365 x 1/ 365 = 0,0027. Om dit om te zetten in een percentage vermenigvuldigen we met 100, dat geeft een kans van 0,27 procent dat twee mensen dezelfde verjaardag delen. Minder dan 1 procent, sounds legit.

“In Ierland wil de traditie dat je naasten je ondersteboven houden en je hoofd tegen de grond beuken.”

Maar we hebben 23 mensen en om ons te besparen van een halve dag rekenwerk, gaan we een handig trucje gebruiken en dat is de probleemstelling omdraaien. Met andere woorden: wat is de kans dat niemand een verjaardag deelt?

We weten dat er twee mogelijkheden zijn: of er zijn geen verjaardagsbuddies, of er zijn er wel. De kans dat een van die twee dingen gebeuren, is uiteraard 1 (of 100 procent). Dat geeft ons dit handigheidje:

Kans op verjaardagsbuddies = 1 – kans op geen verjaardagsbuddies.

Nu kunnen we gaan uitwerken. Persoon A mag eender wanneer geboren zijn, die kans blijft 365/365.  De kans dat persoon B niét matcht met persoon A is natuurlijk 364/365.  Persoon C mag nog op 363 dagen geboren zijn om niet te matchen, dus 363/365. Zo gaan we verder tot persoon W (de 23e), die krijgt 343/365 mogelijkheden om niet te matchen. We weten dat we hier kansen moeten vermenigvuldigen, dus de kans dat niemand matcht is:

365/365 x 364/365 x 363/365 x …. x 343/365

Er zijn handigere manieren om die formule te schrijven, maar hoe dan ook is de uitkomst hier 0,493. De kans dat we verjaardagsbuddies vinden is dus 1 – 0.493 = 0.507, of iets meer dan 50 procent. Quod erat demonstrandum.

Als je hier hoofdpijn van hebt gekregen, wil ik het goedmaken met een passend weetje. In Ierland is hoofdpijn een garantie op je verjaardag, want daar wil de traditie dat je naasten je ondersteboven houden en je hoofd tegen de grond beuken, één hoofdbeuk per jaar oud… en eentje extra for good luck. Feest!

Nieuwsgierig naar meer? Lees het antwoord op andere vragen in de Geek Rubriek
Je hoort redactrice Stephanie ook elke maand in de podcast van Nerdland. Haar illustratief werk vind je hier: www.poodlesoup.be
Foto boven: Istock

Schrijf je reactie

1 reactie

Stephanie Dehennin is een freelance illustrator en een onverbeterlijke nieuwsgierigaard. Voor Charlie deelt ze de verborgen verhalen en fascinerende feiten die ze vindt in de catacomben van het internet.

Lees verder in Mensen

Colofon

Adres Redactie

Toko Space t.a.v. Charlie Magazine
Statiestraat 139
2600 Antwerpen